Б.В. Кутузов
ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО И ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
Пособие для учителей
Москва «Учпедгиз» 1950
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Предисловие
Введение
§ 1. Обзор основных теорем до введения параллельных
§ 2. Теоремы Лежандра-Саккери о сумме углов треугольника
§ 3. Постулат Паша
§ 4. Четырёхугольник с двумя прямыми углами и его свойства
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ПРЕДЛОЖЕНИЯ, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПОСТУЛАТУ ЕВКЛИДА
§ 5. Сумма углов треугольника равна 2d – предложение, эквивалентное постулату Евклида
§ 6. Сумма углов в каждом треугольнике одна и та же – предложение, эквивалентное постулату Евклида
§ 7. Ошибочное доказательство Лежандра теоремы: «Сумма углов треугольника не может быть меньше 2d.
§ 8. Через любую точку внутри угла можно провести секущую, пересекающую обе стороны угла – предложение, эквивалентное постулату Евклида
§ 9. Существует два подобных, но не равных треугольника – предложение, эквивалентное постулату Евклида
§ 10. Одно мнимое доказательство постулата Евклида, принадлежащее Клавию
§ 11. Теорема В. Болиаи
§ 12. Ещё одно предложение, предложение, эквивалентное постулату о параллелях
§ 13. Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу – предложение, эквивалентное постулату Евклида
ГЛАВА ВТОРАЯ
О НЕКОТОРЫХ ФАКТАХ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 14. Постулат Лобачевского
§ 15. Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского
§ 16. Теорема о перпендикуляре к одной стороне угла, не пересекающем другую
§ 17. Эквидистанта
§ 18. Ещё некоторые теоремы геометрии Лобачевского
§ 19. О треугольниках, около которых нельзя описать окружность
§ 20. Сторона правильного вписанного в круг шестиугольника больше радиуса этого круга
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 21. Параллельные и сверхпараллельные прямые
§ 22. Свойства параллельных прямых
§ 23. Угол параллельности
§ 24. Свойства сверхпараллелей Лобачевского
§ 25. Некоторые частные случаи взаимного расположения прямых на плоскости Лобачевского
ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ
УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ В ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
§ 26. Конгруэнтность четырёхугольников Саккери
§ 27. Дефект треугольника и площадь треугольника
§ 28. Предельные случаи треугольников
§ 29. Предложение о существовании треугольника, площадь которого как угодно велика, эквивалентно постулату Евклида
§ 30. Обзор вклада, сделанного Лобачевским в математику
ГЛАВА ПЯТАЯ
ОБЗОР ЕВКЛИДОВЫХ «НАЧАЛ»
§ 31. Содержание «Начал» Евклида
§ 32. Способ изложения «Начал»
§ 33. Основные положения «Начал»
§ 34. О некоторых недостатках, достоинствах и историческом значении «Начал»
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ, ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭТИМИ ОБЪЕКТАМИ И АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ
§ 35. Аксиоматическое построение геометрии. Основные понятия
§ 36. Первая группа аксиом: Аксиомы соединения (принадлежности)
§ 37. Вторая группа аксиом: Аксиома порядка
§ 38. Третья группа аксиом: Аксиомы конгруэнтности и движения
§ 39. Четвёртая группа аксиом: Аксиома о параллельных
§ 40. Пятая группа аксиом: Аксиомы непрерывности
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ИДЕЯ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§ 41. Пример интерпретации плоской геометрии Евклида
§ 42. Интерпретация Фёдорова
§ 43. Аналитическая интерпретация геометрии Евклида
§ 44. Интерпретация Бельтрами-Клейна геометрии Лобачевского
§ 45. Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского на плоскости
§ 46. Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского в пространстве
§ 47. Эквидистантные поверхности, предельные поверхности и сферы
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
СОВМЕСТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ. ИЗОМОРФИЗМ
§ 48. Совместность системы аксиом
§ 49. Независимость аксиом
§ 50. Эквивалентность двух систем аксиом
§ 51. О понятии изоморфизма
§ 52. Заключение
Литература
Скачать